Equilíbrio de Nash. Teoria dos jogos para economistas (John Nash)

2024 Autor: Henry Conors | [email protected]. Última modificação: 2024-02-12 11:58

Na década de 1930, John von Neumann e Oscar Morgenstern tornaram-se os fundadores de um novo e interessante ramo da matemática chamado "teoria dos jogos". Na década de 1950, o jovem matemático John Nash se interessou por essa direção. A teoria do equilíbrio tornou-se o tema de sua dissertação, que escreveu aos 21 anos. Assim nasceu uma nova estratégia de jogo chamada "Nash Equilibrium", que ganhou o Prêmio Nobel muitos anos depois - em 1994.

O longo intervalo entre escrever uma dissertação e o reconhecimento geral tornou-se um teste para um matemático. Gênio sem reconhecimento resultou em sérios distúrbios mentais, mas John Nash conseguiu resolver esse problema graças à sua excelente mente lógica. Sua teoria do equilíbrio de Nash ganhou um Prêmio Nobel e sua vida foi filmada em Beautiful mind.

Brevemente sobre a teoria dos jogos

Como a teoria do equilíbrio de Nash explica o comportamento das pessoas nas condições de interação, vale a pena considerar os conceitos básicos da teoria dos jogos.

A teoria dos jogos estuda o comportamento dos participantes (agentes) em termos de interação uns com os outros como um jogo, quando o resultado depende da decisão e do comportamento de várias pessoas. O participante toma decisões com base em suas previsões sobre o comportamento dos outros, o que é chamado de estratégia do jogo.

Há também uma estratégia dominante na qual o participante obtém o melhor resultado para qualquer comportamento dos demais participantes. Esta é a melhor estratégia ganha-ganha do jogador.

Dilema do prisioneiro e avanço científico

O dilema do prisioneiro é um caso de jogo onde os participantes são forçados a tomar decisões racionais, alcançando um objetivo comum diante de um conflito de alternativas. A questão é qual dessas opções ele escolherá, percebendo o interesse pessoal e geral, bem como a impossibilidade de obter as duas. Os jogadores parecem estar presos em um ambiente de jogo difícil, o que às vezes os faz pensar de forma muito produtiva.

Este dilema foi explorado pelo matemático americano John Nash. O equilíbrio que ele atingiu foi revolucionário à sua maneira. Especialmente brilhantemente esse novo pensamento influenciou a opinião dos economistas sobre como os players do mercado fazem escolhas, levando em conta os interesses dos outros, com estreita interação e intersecção de interesses.

É melhor estudar a teoria dos jogos através de exemplos concretos, já que esta disciplina matemática em si não é secamente teórica.

Exemplo do dilema do prisioneiro

Exemplo, duas pessoas cometeram um ass alto, caíram nas mãos da polícia e estão sendo interrogadas em celas separadas. Ao mesmo tempo, os policiais oferecem a cada participante condições favoráveis sob as quais ele será liberado se testemunhar contra seu parceiro. Cada um decriminosos têm o seguinte conjunto de estratégias que ele irá considerar:

Ambos testemunham ao mesmo tempo e pegam 2,5 anos de prisão.
Ambos ficam calados ao mesmo tempo e recebem 1 ano cada, pois neste caso a base de evidências de sua culpa será pequena.
Um testemunha e é solto, enquanto o outro fica em silêncio e pega 5 anos de prisão.

Obviamente, o desfecho do caso depende da decisão de ambos os participantes, mas eles não podem concordar, pois estão sentados em celas diferentes. O conflito de seus interesses pessoais na luta por um interesse comum também é claramente visível. Cada um dos prisioneiros tem duas opções de ação e 4 opções de resultados.

Cadeia de inferências lógicas

Então, o infrator A está considerando as seguintes opções:

Estou calado e meu parceiro está calado - nós dois pegaremos 1 ano de prisão.
Eu entrego meu parceiro e ele me entrega - nós dois pegamos 2,5 anos de prisão.
Estou calado, e meu parceiro me trai - vou pegar 5 anos de prisão, e ele estará livre.
Entrego meu parceiro, mas ele fica em silêncio - eu sou libertado e ele pega 5 anos de prisão.

Vamos dar uma matriz de possíveis soluções e resultados para maior clareza.

Tabela de possíveis resultados do dilema do prisioneiro.

A questão é: o que cada competidor escolherá?

"Fique calado, você não pode falar" ou "Você não pode ficar calado, você não pode falar"

Para entender a escolha do participante, você precisa percorrer a cadeia de seus pensamentos. Seguindo o raciocínio do criminoso A: se eu ficar calado e meu parceiro ficar calado, receberemos um prazo mínimo (1 ano), mas euNão sei como ele vai se comportar. Se ele testemunhar contra mim, então é melhor eu testemunhar, caso contrário posso ficar sentado por 5 anos. Prefiro ficar sentado por 2,5 anos do que 5 anos. Se ele se calar, tanto mais preciso testemunhar, porque assim obterei minha liberdade. Participante B.

Não é difícil ver que a estratégia dominante para cada um dos perpetradores é testemunhar. O ponto ideal deste jogo vem quando ambos os criminosos testemunham e recebem seu "prêmio" - 2,5 anos de prisão. A teoria dos jogos de Nash chama isso de equilíbrio.

Solução de Nash ótima não ótima

A natureza revolucionária da visão nashiana é que tal equilíbrio não é ótimo quando se considera o participante individual e seu interesse próprio. Afinal, a melhor opção é ficar em silêncio e ir livre.

Equilíbrio de Nash é um ponto de convergência de interesses, onde cada participante escolhe a opção que é ótima para ele somente se os outros participantes escolherem determinada estratégia.

Considerando a opção quando ambos os criminosos ficam em silêncio e recebem apenas 1 ano, podemos chamá-la de opção Pareto-ótima. No entanto, só é possível se os criminosos puderem concordar com antecedência. Mas mesmo isso não garantiria esse resultado, pois a tentação de recuar do acordo e evitar punições é grande. A f alta de confiança total um no outro e o perigo de ficar 5 anos forçados a escolher a opção com reconhecimento. Reflita sobre o que os participantes vão aderiropção com o silêncio, agindo em conjunto, é simplesmente irracional. Tal conclusão pode ser tirada se estudarmos o equilíbrio de Nash. Exemplos só provam que você está certo.

Egoísta ou racional

A Teoria do Equilíbrio de Nash produziu conclusões surpreendentes que refutaram os princípios que existiam antes. Por exemplo, Adam Smith considerou o comportamento de cada um dos participantes como completamente egoísta, o que trouxe o equilíbrio do sistema. Essa teoria foi chamada de “mão invisível do mercado.”

John Nash viu que se todos os participantes agirem de acordo com seus próprios interesses, isso nunca levará a um ótimo resultado do grupo. Dado que o pensamento racional é inerente a cada participante, a escolha oferecida pela estratégia de equilíbrio de Nash é mais provável.

Experiência puramente masculina

Um excelente exemplo é o jogo do paradoxo da loira, que, embora aparentemente fora de lugar, é uma ilustração clara de como a teoria dos jogos de Nash funciona.

Neste jogo você precisa imaginar que uma companhia de caras livres veio a um bar. Perto está uma companhia de garotas, uma das quais é preferível às outras, digamos uma loira. Como os caras agem para conseguir a melhor namorada para si?

Então, o raciocínio dos caras: se todo mundo começar a se familiarizar com a loira, então, provavelmente, ninguém vai entender, então seus amigos não vão querer se conhecer. Ninguém quer ser o segundo substituto. Mas se os meninos optarem por evitarloira, então a probabilidade de cada um dos rapazes encontrar uma boa namorada entre as garotas é alta.

A situação de equilíbrio de Nash não é ideal para os caras, porque, perseguindo apenas seus próprios interesses egoístas, todos escolheriam a loira. Pode-se ver que a busca apenas de interesses egoístas equivalerá ao colapso dos interesses de grupo. O equilíbrio de Nash significará que cada indivíduo age em seus próprios interesses, que estão em contato com os interesses de todo o grupo. Esta não é a melhor opção para todos pessoalmente, mas a melhor para todos, com base na estratégia geral para o sucesso.

Nossa vida inteira é um jogo

Tomada de decisão no mundo real é muito parecida com um jogo onde você espera certos comportamentos racionais de outros participantes também. Nos negócios, no trabalho, em uma equipe, em uma empresa e até nos relacionamentos com o sexo oposto. De grandes negócios a situações comuns da vida, tudo obedece a uma lei ou outra.

Claro, as situações de jogo acima com criminosos e um bar são apenas excelentes ilustrações que demonstram o equilíbrio de Nash. Exemplos de tais dilemas muitas vezes surgem no mercado real, e isso funciona especialmente nos casos em que dois monopolistas controlam o mercado.

Estratégias Mistas

Muitas vezes não estamos envolvidos em um, mas em vários jogos ao mesmo tempo. Escolher uma das opções em um jogo, guiado por uma estratégia racional, mas você acaba em outro jogo. Depois de algumas decisões racionais, você pode descobrir que seu resultado não é do seu agrado. O quetomar?

Vamos considerar dois tipos de estratégia:

Estratégia pura é o comportamento do participante, que vem de pensar no possível comportamento dos outros participantes.
Estratégia mista ou estratégia aleatória é a alternância de estratégias puras ao acaso ou a escolha de uma estratégia pura com certa probabilidade. Essa estratégia também é chamada de randomização.

Considerando este comportamento, temos uma nova visão do equilíbrio de Nash. Se antes foi dito que o jogador escolhe uma estratégia uma vez, então outro comportamento pode ser imaginado. Pode-se supor que os jogadores escolhem uma estratégia aleatoriamente com uma certa probabilidade. Jogos que não conseguem encontrar equilíbrios de Nash em estratégias puras sempre os têm em estratégias mistas.

O equilíbrio de Nash em estratégias mistas é chamado de equilíbrio misto. Este é um equilíbrio onde cada participante escolhe a frequência ótima de escolha de suas estratégias, desde que outros participantes escolham suas estratégias com uma determinada frequência.

Pên altis e estratégia mista

Um exemplo de estratégia mista pode ser encontrado no jogo de futebol. A melhor ilustração de uma estratégia mista é talvez uma disputa de pên altis. Então, temos um goleiro que só pode pular em um canto e um jogador que vai cobrar o pên alti.

Então, se na primeira vez o jogador escolhe a estratégia de chutar para o canto esquerdo, e o goleiro também cai nesse canto e pega a bola, como as coisas podem evoluir na segunda vez? Se o jogadorvai bater no canto oposto, isso é muito óbvio, mas bater no mesmo canto não é menos óbvio. Portanto, tanto o goleiro quanto o chutador não têm escolha a não ser confiar na seleção aleatória.

Assim, alternando a seleção aleatória com uma certa estratégia pura, o jogador e o goleiro tentam obter o máximo resultado.